Wiadomo, co może wyniknąć, jeśli wypowiada się słowa, pod które nie można podstawić znaczeń. Symbole nabierają własnego życia, a u poszukujących sensu rodzi się mistycyzm.

Tymi słowami prof. Jerzy Mioduszewski podsumowuje fakt, iż w szkole mówi się o zbiorach, nie wyjaśniając przy tym czym one są. Dość ogólne podsumowanie, prawda? Równie dobrze można je użyć do wielu innych sytuacji, np. prostych, a tym samym trudnych pytań jakie stawia dziecko rodzicom. W szkole — jak w życiu — trzeba było brać na wiarę wiele prawd, które padały od stałych bądź chwilowych belfrów. Jak zrozumieć fizykę bez znajomości rachunku różniczkowego? Nie da się. Zrozumieć się nie da, ale da się nauczyć fizyki. Tak samo jak da się nauczyć teorii zbiorów z matematyki. Brak dociekliwości i chęci by dojść do sedna sprawy daje nadzieję na przetrwanie tego okresu we względnym zdrowiu psychicznym. Chwilowe zawieszenie omawianego problemu w próżni… aby po latach do niego wrócić i uzasadnić go sobie dla własnej, wewnętrznej spójności. Lub po prostu uznać brak konieczności jego zrozumienia.

Wszyscy podlegają prawom fizyki, ale nie wszyscy muszą je znać. Korzystanie z komputera nie wymaga znajomości informatyki. Ale nie wszyscy mają tyle cierpliwości, zwłaszcza gdy ciekawość zostaje pobudzona i ciężko przychodzi odłożenie jakiejś kwestii na później. Nawet jakby był potrzebny czas na jej zrozumienie — chce się zacząć już, teraz. Nieważne czy problem dotyczy liczb pierwszych, życia po śmierci, etapów produkcji ołówków czy tego skąd się bierze papier. Im dalej w las tym więcej drzew. Czasami można się poczuć jak szaser z obrazu Caspara Davida Friedricha. Mnogość drzew przytłacza… ale jednocześnie zaspokaja niezbędną do rozwoju dawkę niebezpieczeństwa i ryzyka. Każdy las można badać dwojako – albo zapuszczając się w jego głębię albo badając jego brzegi. Myślenie wertykalne albo myślenie horyzontalne. Istota jednak tkwi w głębi.

Caspar David Friedrich — The Chasseur in the Forest

Eksperymenty ostatnich dziesiątków lat zagnały nauczanie matematyki w pedantyczność i werbalizm. Bo suchość przedmiotu matematyki często zachęca do prób opanowania jej werbalnie. Pedantyczność daje zaś namiastkę rozumienia, wygodne samooszukanie. Inny skutek ostatnich eksperymentów, to zastąpienie umiejętności wiedzą, bo tę da się przyswajać w sposób ilościowy. A przecież rozwiązanie samodzielnie zadania czy problemu posuwa nas w matematyce niepomiernie dalej, niż przyswojenie sobie gotowych rozwiązań, nawet jeśli jest ich tak wiele, że mogłyby starczyć na każdą okazję życia.

Cóż… w matematyce jest jak w życiu — chciałoby się powiedzieć. Czy życiowej mądrości nie próbuje się także uzasadnić np. szerokim wykształceniem filozoficznym? Życie także zadaje nam zadania do rozwiązania i pochłonięcie tomów ich rozwiązań (w danej szkole filozoficznej), nie jest tym samym co samodzielne ich przemyślenie. Najogólniej mówiąc rozumienie matematyki — o czym także opowiada prof. Mioduszewski — nie jest jakimś chwilowym zachwytem, doraźną potrzebą przyswojenia sobie pewnej jej domeny. Trzeba być w niej wychowanym.(…) Wzrastanie w matematyce wymaga dużej troskliwości. Z drugiej strony — brak zrozumienia matematyki nigdy nie jest prawdą. Ktoś kto tak mówi w pewnym momencie po prostu zagubił się w matematyce.

Bo obiekty matematyczne nie narzucają się ze swoim istnieniem. Istnieją w naszym umyśle i trzeba pewnego wysiłku, żeby je zakorzenić i wysiłku by je tam utrzymać. Niezmienność właściwości myślenia matematycznego sprawiła, że pewne zasady kształcenia w matematyce weszły do kanonu: stopniowanie trudności, ćwiczenie sprawności, sprzyjanie tworzeniu się wyobrażeń i poddawanie ich potem rygorowi logiki. Mniej znaną zasadą jest nienarzucanie się z całościową strukturą, która powinna pozostać indywidualna. W liście zasad łatwiej o sformułowania negatywne, bo najczęściej wiemy przede wszystkim o tym, jak nie należy czegoś robić.

Struktura nauczania matematyki powinna pozostać indywidualna. Myślę, że to oczywiste, ale jednak trudne do zrealizowania. W szkole jesteśmy równani w dół; uczniowie bardziej ambitni nudzą się na lekcjach, czekając aż zagubieni w matematyce dogonią peleton. Jeśli ci bystrzejsi nie zechcą sami się rozwijać lub po prostu wykorzystywać tego buforu czasu na inne aktywności, czeka ich czas frustracji. Rozwiązywanie problemów dostarcza pozytywnych emocji, dodaje śmiałości by podjąć nowe wyzwania. Mechanizm pokonywania przeszkód jest często podobny na innych polach. A więc może się przydać. Sama umiejętność rozwiązywania zagwozdek jest wielowarstwowa.

---

[1] J. Mioduszewski — Matematyka: wewnętrznie sprzeczna jedność ogólności i konkretu, Matematyka Społeczeństwo Nauczanie 8/1992.