Estetyka dowodzenia

Dalsza część Lamentu to kontynuacja rozprawiania się z geometrią.

Problemem standardowego programu geometrii jest to, że osobiste doświadczenie artysty zmagającego się z rozwiązaniem zostało zeń całkowicie wyeliminowane. Sztukę dowodzenia zastąpił system sztywnych algorytmów formalnej dedukcji krok po kroku. Podręcznik oferuje zbiór definicji, twierdzeń i dowodów – nauczyciel przepisuje je na tablicę, a uczniowie do zeszytów. Następnie prosi się ich, by powtarzali to wszystko w ćwiczeniach. Ci, którzy sprawnie wychwycą wzorzec postępowania, są „dobrymi uczniami”.

Autor przytacza tutaj mniej oczywistą prawidłowość z geometrii. Mianowicie trójkąt wpisany w półokrąg. Problem jest następujący: dlaczego kąt oparty na półokręgu jest zawsze kątem prostym? Jak to udowodnić? Szczerze mówiąc to nie pamiętam, żeby w szkole był przeprowadzany dowód tego twierdzenia. Było to raczej podane jako pewnik – to i wiele innych twierdzeń z geometrii. Paul Lockhart przytacza niemal rachunkowy dowód, ale oszczędzę Wam tego. Rachunkowy, bo wykorzystujący notację matematyczną do zapisywania kątów itd. Ale skoro zajmujemy się geometrią to dlaczego nie spróbować udowodnić tego twierdzenia na drodze czysto dedukcyjnej, wykorzystującej konstrukcje geometryczne?

Następnie Autor przytacza dowód sformułowany przez jednego ze swoich uczniów, siódmoklasistę. Dowód ten jednak wymagał drobnego przeredagowania – uczeń posłużył się intuicją i miał rację, nauczyciel natomiast, zadając dodatkowe pytania, wydobył z ucznia bardziej klarowną argumentację. Poniżej rysunek ilustrujący ideę zaproponowanego dowodu. Obracając trójkąt tak, żeby utworzył czworokąt w okręgu, uzyskujemy prostokąt. Dalsza część dowodu powinna polegać na udowodnieniu, że otrzymany czworokąt zawsze jest prostokątem (nie może być równoległobokiem). Sednem sprawy jest zatem sprowadzenie danego problemu do innego, w domyśle, łatwiejszego zagadnienia. Dalej, zauważmy, że przekątne czworoboku są średnicami okręgu, a zatem muszą być równe – co samo przez się oznacza, że mamy do czynienia z prostokątem.

Przedstawiając uczniom gotowe formuły i tablice wzorów do wkuwania na pamięć, jednocześnie pozbawia się ich takich właśnie przygód. Uczeń staje się biernym obserwatorem własnej edukacji matematycznej. Ciężko wyobrazić sobie coś podobnego na lekcjach np. malarstwa czy muzyki. To tak jakby adepci malarstwa kolorowali kolorowanki. Autor twierdzi nawet, że przez takie zaniedbania uczniowie nie tylko nie mają pojęcia, o czym mówi nauczyciel, ale także nie mają pojęcia, o czym sami mówią. O tym problemie częściowo pisałem już tutaj.

W geometrii mamy do czynienia z częstym wyprzedzaniem pytań przez odpowiedzi. Jest przecież tyle twierdzeń i zależności, że brakło by czasu na zabawy w dowodzenie na lekcji. Pozostaje się tylko zastanowić nad sensem tegj strategii. Paul Lockhart słusznie zauważa, że definicje biorą się z problemów.

Rzecz właśnie w tym, że prawdziwego rozumowania nie zaczyna się od definicji – ono się zaczyna od problemu. Nikomu nie przyszedł do głowy pomysł „niewymierności” zanim Pitagoras nie spróbował zmierzyć przekątnej kwadratu i nie zorientował się, że nie da się jej wyrazić ułamkiem. Definicje mają sens, kiedy w rozumowaniu dojdziesz do punktu, w którym rozróżnienia nabierają znaczenia. Definicje bez tego rodzaju motywacji raczej tylko spowodują zamieszanie.

Uczciwy program matematyki

Paul Lockhart na kartach Lamentu wielokrotnie kpi z obowiązujących programów nauczania matematyki obnażając ich absurdalność. Na koniec zaproponował program, który nazwał uczciwym katalogiem szkolnego programu matematyki. Ów katalog zawiera to co pod przykrywką jest określane edukacją matematyczną. Oczywiście w przerysowanej formie. Przytoczę najciekawsze.

NAUCZANIE POCZĄTKOWE. Początek indoktrynacji. Uczniowie dowiadują się, że matematyka to nie coś, co robisz, ale coś, co inni robią tobie. Nacisk kładzie się na siedzeniu w bezruchu, wypełnianiu kart pracy i wykonywaniu poleceń. Od dzieci wymagamy opanowania złożonego zestawu algorytmów manipulowania chińskimi znakami bez związku z czymkolwiek, co je interesuje i co zaledwie kilka stuleci temu uznawano za zbyt trudne dla przeciętnego dorosłego. Nacisk kładziemy na tabliczkę mnożenia, naciskowi poddajemy rodziców, nauczycieli i samych uczniów.

KLASY IV – VI. Uczniów wdraża się w postrzeganie matematyki jako zestawu procedur, pokrewnych religijnym obrzędom i podobnie jak one na wieki wykutych w kamieniu. Pojawiają się święte tablice albo „Księgi Matematyczne”, a uczniowie przyzwyczajają się myśleć o starszych Kościoła w trzeciej osobie: „Czego oni tutaj oczekują? Czy oni chcą, żebym to podzielił?” Wymyślne i sztuczne „zadania tekstowe” zostają wprowadzone, by bezmyślna męka arytmetyki stała się relatywnie znośniejsza. Uczniowie będą systematycznie testowani na okoliczność znajomości całkowicie zbędnych technicznych określeń, takich jak „liczba całkowita” lub „ułamek właściwy”. Znakomite przygotowanie dla Algebry I.

GEOMETRIA. Całkowicie oddzielony od całej reszty programu ten osobny przedmiot obudzi nadzieje tych uczniów, którzy chcieliby jeszcze jakimś cudem zaangażować się we własną intelektualną aktywność – i te nadzieje stłumi. Niejasna i zniechęcająca notacja zostanie wprowadzona i żaden ból nikomu nie zostanie oszczędzony, by proste uczynić niejasnym. Celem tego kursu jest wymazać wszelkie możliwe pozostałości matematycznej intuicji – w przygotowaniu do Algebry II.

TRYGONOMETRIA. Program na dwa tygodnie rozciągnięto na cały semestr wypełniony masturbacyjnymi praktykami powtarzającymi wciąż te same proste operacje. Zjawiska naprawdę interesujące i piękne, jak choćby to, że i w jaki sposób boki trójkąta zależą od jego kątów, zasłużą na co najwyżej tyle uwagi, co pozbawione znaczenia skróty i konwencje notacji – wszystko po to, by zapobiec zrozumieniu, o czym w ogóle jest trygonometria. Uczniowie poznają zestaw mnemotechnicznych protez w rodzaju „w pierwszej ćwiartce same plusy, w drugiej tylko sinus…”, co będzie odtąd zastępowało im orientację i poczucie symetrii. Miary trójkątów zostaną przedstawione bez słowa o transcendentalnej naturze funkcji trygonometrycznych, ani o językowych i filozoficznych problemach, które się w nich ujawniają. Kalkulator jest niezbędny – by tylko liczyć i jeszcze dodatkowo zaciemnić zrozumienie.

ANALIZA. Kurs dotyczy matematyki ruchu i polega na zagrzebaniu jasnych pojęć z tym związanych pod stosem reguł formalnych. Chociaż kurs jest wstępem do rachunku różniczkowego i całkowego, proste i fundamentalne idee Newtona i Leibniza odrzucimy, by zastąpić je bardziej złożonym podejściem analizy funkcji, które rozwinięto, by poradzić sobie z najróżniejszymi trudnościami zupełnie innej natury, niemającymi związku z tematem i oczywiście niewyjaśnionymi. Kurs zostanie słowo w słowo powtórzony na studiach.

Chcecie więcej? Przejdźcie się do szkoły. Znów można odczuć, że kozłami ofiarnymi są biedni nauczyciele, jednakże kilka akapitów wcześniej, Paul Lockhart po raz kolejny bierze ich w obronę – nauczyciele powinni mieć wolność w wyborze tematów i realizacji tychże. To co stoi na przeszkodzie temu prostemu postulatowi to niestety program narzucony przez państwo i ogólnie – biurokracja. Sprawa wydaje się beznadziejna – skoro prawdziwe rozumienie matematyki jest zupełnie zbędne z perspektywy programu nauczania to po co tracić na to czas? Program nagradza tylko swoich wyznawców. Mimo wszystko, wydaje mi się, że tylko oddolne działania mają jakiś sens – kijem Wisły nie zawrócisz. Pozostaje tylko aktywnie oczekiwać lepszych czasów dla matematyki i bezpardonowo ją uprawiać i się nią delektować. Wszak uprawianie matematyki jest na tyle abstrakcyjną formą rozwoju, że owoce tej zabawy są zbierane na wielu innych polach w życiu. Jej interdyscyplinarny charakter jest niemałym atrybutem. Smacznego!

Zdjęcia:
[1] — grafika utworzona w programie MS Visio
[2] — grafika utworzona w programie MS Visio
[3] — mem z internetu